Domanda:
Come viene determinata la massa della Terra?
Kenshin
2014-04-16 10:12:33 UTC
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Secondo la conoscenza dei libri di testo, la massa della Terra è di circa $ 6 × 10 ^ {24} \, \ mathrm {kg} $. Come viene determinato questo numero quando non è possibile pesare la Terra usando bilance regolari?

Cinque risposte:
#1
+37
Mr_Green
2014-04-16 10:36:45 UTC
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Secondo la legge di gravità di Newton basata sulla forza attrattiva (forza gravitazionale) che due masse esercitano l'una sull'altra:

$ $ F = \ frac {GmM} {r ^ 2} $$

Dove:

  • $ F $ è la forza gravitazionale
  • $ G = 6.67 \ times 10 ^ {- 11} \ \ mathrm {m} ^ 3 \ \ mathrm { kg} ^ {- 1} \ \ mathrm {s} ^ {- 2} $ è una costante di proporzionalità
  • $ M $ span> e $ m $ sono le due masse che esercitano le forze
  • $ r $ span > è la distanza tra i due centri di massa.

Dalla seconda legge del moto di Newton :

$$ F = ma $$

Dove:

  • $ F $ è la forza applicata a un oggetto
  • $ m $ è la massa dell'oggetto
  • $ a $ è la sua accelerazione dovuta alla forza.

Equalizzazione di entrambe le equazioni :

$$ F = \ frac {GmM} {r ^ 2} = ma $$

$$ \ frac {GM} {r ^ 2} = a $$ (Il $ m $ è stato annullato.)

Ora risolvi per $ M $ , la massa della Terra.

$$ M = \ frac { ar ^ 2} {G} $$

Dove $ a = 9.8 \ \ mathrm {m} \ \ mathrm {s} ^ {- 2} $ , $ r = 6.4 \ times 10 ^ 6 \ \ mathrm {m} $ e $ G = 6,67 \ times 10 ^ {- 11} \ \ mathrm {m} ^ 3 \ \ mathrm {kg} ^ {- 1} \ \ mathrm {s} ^ {- 2} $ .

$$ M = 9.8 \ times (6.4 \ times 10 ^ 6) ^ 2 / (6.67 \ times 10 ^ {- 11}) \ \ mathrm {kg} $$


Quindi,

$ M = 6.0 \ times 10 ^ {24} \ \ mathrm {kg} $

Mew, c'è uno dei più bei testi nella storia della scienza, intitolato Principi matematici della filosofia naturale in cui la legge di gravitazione è stata sviluppata da F = MA.
Dovresti chiarire che r nell'equazione generale è la distanza tra i centri di gravità degli oggetti (una forza gravitazionale agisce anche su un oggetto sulla superficie terrestre anche se la distanza tra l'oggetto e la terra è 0). Inoltre, a mio parere, esprimere gli esponenti al quadrato come ad esempio "r ^ 2" invece di "r2" è più chiaro poiché evita ambiguità (intendi "r * r" o "r * 2"? A parte questo è una buona risposta :-)
Sento che questa risposta deve almeno riconoscere come potremmo determinare ae G.
#2
+34
David Hammen
2014-04-24 17:40:45 UTC
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Nota: ho aggiornato questa risposta per includere una descrizione delle tecniche storiche.

Tecniche storiche

Newton ha sviluppato la sua teoria della gravitazione principalmente per spiegare i movimenti dei corpi che formano il sistema solare. Si rese anche conto che mentre la gravità fa orbitare la Terra intorno al Sole e la Luna orbita attorno alla Terra, è anche responsabile delle mele che cadono dagli alberi. Tutto attrae tutto il resto, gravitazionalmente. Ciò ha suggerito che si potrebbe in teoria misurare l'attrazione gravitazionale tra una coppia di piccole sfere. Lo stesso Newton se ne rese conto, ma non pensava che fosse molto pratico. Certamente non due piccole sfere (Newton 1846):

Donde una sfera di un piede di diametro, e di natura simile alla terra, attirerebbe un piccolo corpo posto vicino alla sua superficie con una forza 20000000 volte meno di quanto farebbe la Terra se posizionata vicino alla sua superficie; ma una forza così piccola non potrebbe produrre alcun effetto sensibile. Se due di queste sfere fossero distanti ma di 1 pollice, non si unirebbero, anche in spazi privi di resistenza, per la forza della loro reciproca attrazione in meno di un mese; e meno sfere si uniranno a un ritmo ancora più lento, vale a dire nella proporzione dei loro diametri.

Forse una montagna?

No, intere montagne lo faranno non essere sufficiente a produrre effetti sensati. Una montagna di una figura emisferica, alta tre miglia e larga sei, non attirerà, per la sua attrazione, il pendolo a due minuti dalla vera perpendicolare: ed è solo nei grandi corpi dei pianeti che queste forze devono essere percepito, ...

L'idea di Newton sull'impraticabilità di misurazioni così minuscole risulterebbe errata. Newton non sapeva che la rivoluzione scientifica che lui stesso aveva aiutato a spingere avrebbe reso rapidamente possibili misurazioni così minuscole.


Pesare la Terra usando le montagne

Il primo tentativo di "pesare la Terra" è stato effettuato durante la missione geodetica francese in Perù da Pierre Bouguer, Charles Marie de La Condamine e Louis Godin. La loro missione principale era determinare la forma della Terra. La Terra aveva un rigonfiamento equatoriale, come previsto da Newton? (I francesi avevano inviato una squadra diversa in Lapponia per ottenere lo stesso scopo.) Bouguer ha sfruttato il viaggio come un'opportunità per testare il suggerimento di Newton secondo cui una montagna avrebbe deviato un filo a piombo dal normale rilevato. Ha scelto Chimborazo come soggetto montagna. Sfortunatamente, le misurazioni sono risultate completamente sbagliate. Il filo a piombo è stato deviato, ma nella direzione sbagliata. Bouguer ha misurato una leggera deviazione dalla montagna (Beeson, pagina web).

Il tentativo successivo è stato l'esperimento Schiehallion. Mentre esaminavano la linea Mason-Dixon, Charles Mason e Jeremiah Dixon hanno scoperto che occasionalmente le loro calibrazioni non potevano essere messe d'accordo l'una con l'altra. La causa era che i loro piombini occasionalmente deviavano dal normale rilevato. Questa scoperta ha portato all'esperimento Schiehallion condotto da Nevil Maskelyne. A differenza di Bouguer, Maskelyne ha ottenuto un risultato positivo, una deviazione di 11,6 secondi d'arco e nella giusta direzione. Le deviazioni osservate hanno portato Maskelyne a concludere che la densità media della Terra è 4.713 volte quella dell'acqua (von Zittel 1914).

Si scopre che l'idea di Newton di usare una montagna è fondamentalmente errata. Altri hanno provato a ripetere questi esperimenti usando altre montagne. Molti hanno misurato una deviazione negativa, come ha fatto Bouguer. C'è una buona ragione per questo. Per lo stesso motivo per cui vediamo solo una piccola parte di un iceberg (la maggior parte è sott'acqua), vediamo solo una piccola parte di una montagna. La maggior parte della montagna è all'interno della Terra. Un'enorme montagna isolata dovrebbe far deviare un filo a piombo dalla montagna.


Pesare la Terra usando piccole masse

Quindi, se usare le montagne è dubbio, cosa significa riguardo al dubbio dell'uso di piccole masse che impiegherebbero mesi per avvicinarsi l'una all'altra anche se separate da semplici pollici?

Questo si è rivelato molto buona idea. Queste piccole masse sono controllabili e le loro masse possono essere misurate con un alto grado di precisione. Non c'è bisogno di aspettare che entrino in collisione. Misura semplicemente la forza che esercitano l'uno sull'altro.

Questa idea è stata la base per l'esperimento Cavendish (Cavendish 1798). Cavendish ha utilizzato due sfere di piombo piccole e due grandi. Le due piccole sfere erano appese alle estremità opposte di un braccio di legno orizzontale. Il braccio di legno a sua volta era sospeso a un filo. Le due grandi sfere erano montate su un dispositivo separato che poteva girare per avvicinare una grande sfera molto vicino a una piccola sfera. Questa stretta separazione ha provocato una forza gravitazionale tra le sfere piccole e grandi, che a sua volta ha causato la torsione del filo che trattiene il braccio di legno. La torsione nel filo ha agito per controbilanciare questa forza gravitazionale. Alla fine il sistema si stabilì in uno stato di equilibrio. Ha misurato la torsione osservando la deviazione angolare del braccio dal suo stato non attorcigliato. Ha calibrato questa torsione con un diverso insieme di misurazioni. Infine, pesando quelle sfere di piombo, Cavendish è stato in grado di calcolare la densità media della Terra.

Si noti che Cavendish non ha misurato la costante gravitazionale universale G. Non si fa menzione di una costante gravitazionale nell'articolo di Cavendish. L'idea che Cavendish abbia misurato G è un po 'di revisionismo storico. La moderna notazione della legge di gravitazione universale di Newton, $ F = \ frac {GMm} {r ^ 2} $, semplicemente non esisteva ai tempi di Cavendish. Fu solo 75 anni dopo gli esperimenti di Cavendish che la legge di gravitazione universale di Newton fu riformulata in termini di costante gravitazionale G. Gli scienziati dei tempi di Newton e Cavendish scrissero in termini di proporzionalità piuttosto che utilizzando una costante di proporzionalità.

L'intento stesso dell'esperimento di Cavendish era "pesare" la Terra, ed è esattamente ciò che fece.


Tecniche moderne

Se la Terra fosse sferica, se non ci fossero altri effetti perturbatori come l'accelerazione gravitazionale verso la Luna e il Sole, e se la teoria della gravitazione di Newton fosse corretta, il periodo di un piccolo satellite in orbita attorno alla Terra è dato dalla terza legge di Keplero: $ \ left (\ frac T {2 \ pi} \ right) ^ 2 = \ frac {a ^ 3} {GM_E} $. Qui $ T $ è il periodo del satellite, $ a $ è il semiasse maggiore del satellite (raggio orbitale), $ G $ è la costante gravitazionale universale e $ M_E $ è la massa della Terra.

Da questo, è facile risolvere per il prodotto $ G M_E $ se il periodo $ T $ e il raggio orbitale $ a $ sono noti: $ G M_E = \ left (\ frac {2 \ pi} T \ right) ^ 2 a ^ 3 $. Per calcolare la massa della Terra, tutto ciò che devi fare è dividere per $ G $. C'è un problema, però. Se il prodotto è $ G M_E $ è noto con un alto grado di accuratezza (e lo è), la divisione per $ G $ perderà molta precisione perché la costante gravitazionale $ G $ è nota solo con quattro cifre decimali di accuratezza. Questa mancanza di conoscenza di $ G $ affligge intrinsecamente qualsiasi misurazione precisa della massa della Terra.

Ho posto molti avvertimenti su questo calcolo:

  • La Terra non è è sferico. La Terra è meglio modellata come uno sferoide oblato. Quel rigonfiamento equatoriale perturba le orbite dei satelliti (così come le deviazioni dal modello sferoidale oblato).
  • La Terra non è sola nell'universo. La gravitazione dalla Luna e dal Sole (e dagli altri pianeti) perturbano le orbite dei satelliti. Così fa la radiazione dal Sole e dalla Terra.
  • La teoria della gravitazione di Newton è corretta solo approssimativamente. La teoria della relatività generale di Einstein fornisce un modello migliore. Le deviazioni tra le teorie di Newton ed Einstein diventano osservabili date misurazioni precise su un lungo periodo di tempo.

Queste perturbazioni devono essere prese in considerazione, ma l'idea di base è ancora valida: si può "pesare la Terra" osservando con precisione un satellite per un lungo periodo di tempo. Quello che serve è un satellite particolarmente adatto a quello scopo. Eccolo:

!LAGEOS

Questo è LAGEOS-1, lanciato nel 1976. Un gemello identico, LAGEOS-2, è stato schierato nel 1992. Questi sono estremamente semplici satelliti. Non hanno sensori, effettori, apparecchiature di comunicazione, elettronica. Sono satelliti completamente passivi. Sono solo sfere di ottone massiccio di 60 cm di diametro, ricoperte di catadiottri.

Invece di far effettuare le misurazioni dal satellite, le persone a terra puntano i laser sui satelliti. Il fatto che i satelliti siano coperti da catadiottri significa che parte della luce laser che colpisce un satellite verrà riflessa alla sorgente. Il tempismo preciso del ritardo tra l'emissione e la ricezione della luce riflessa fornisce una misura precisa della distanza dal satellite. Misurare con precisione la variazione di frequenza tra il segnale trasmesso e il segnale di ritorno fornisce una misura precisa della velocità con cui la distanza cambia.

Accumulando queste misurazioni nel tempo, gli scienziati possono determinare in modo molto preciso le orbite di questi satelliti, e da questo possono "pesare la Terra". La stima corrente del prodotto $ G M_E $ è $ G M_E = 398600.4418 \ pm 0.0009 \ \ text {km} ^ 3 / \ text {s} ^ 2 $. (NIMA 2000). Questo piccolo errore significa che è accurato fino a 8,6 cifre decimali. Quasi tutti gli errori nella massa della Terra verranno dall'incertezza in $ G $.

Riferimenti

M. Beeson, "Bouguer non riesce a pesare la Terra" (pagina web)

H. Cavendish, "Esperimenti per determinare la densità della Terra", Phil. Trans. R. Soc. Londra, 88 (1798) 469-526

I. Newton (tradotto da A. Motte), Principia, The System of the World (1846)

Rapporto tecnico NIMA TR8350.2, "Department of Defense World Geodetic System 1984, Its Definition and Relationships With Local Geodetic Systems", terza edizione, gennaio 2000

K. von Zittel (tradotto da M. Ogilvie-Gordon), "History of Geology and Paleontology to the End of the Nineteenth Century", (1914)

Buona risposta. Sapevo che il metodo moderno avrebbe utilizzato i satelliti, ma non conoscevo i dettagli.
#3
+15
hugovdberg
2014-04-16 10:35:36 UTC
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La massa della Terra può essere determinata dal cosiddetto esperimento di Cavendish. Henry Cavendish ha utilizzato un apparato per determinare la costante gravitazionale G che appare nell'equazione completa per la forza gravitazionale:

$$ F = {Gm_1m_2 \ over R ^ 2} $$

dove $ m_1 $ e $ m_2 $ sono le masse di due oggetti, $ R $ la distanza tra i centri di gravità degli oggetti e $ G $ la costante gravitazionale (circa $ 6,674 \ volte 10 ^ {- 11} \ mathrm {N ~ m ^ 2 ~ kg ^ {- 2}} $).

Poiché il diametro della terra è noto, così come la costante gravitazionale, determinare la forza gravitazionale su un oggetto con massa nota ci dà la massa dell'oggetto che esercita quella forza (quindi la Terra).

#4
+12
winwaed
2014-04-16 19:55:08 UTC
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Cavendish potrebbe aver utilizzato un approccio più diretto, ma Neville Maskelyn lo ha fatto in precedenza nell ' Esperimento Schiehallion, pubblicato nel 1778. Una storia molto illuministica che coinvolge i soldi rimasti dalla spedizione di Cook per osservare il transito di Venere; Mason & Dixon; e anche Benjamin Franklin è stato coinvolto nella pianificazione iniziale.

Schiehallion è una montagna simmetrica e relativamente isolata in Scozia. Misurando la forma (e inventando le curve di livello nel processo!) È possibile calcolare il volume. Dal campionamento della roccia, è quindi possibile calcolare la massa della montagna. Osservando la deflessione del pendolo, è possibile calcolare il rapporto tra la massa della Terra e la massa di Schiehallion.

Utilizzando un moderno modello digitale del terreno e modelli geologici, le misurazioni del pendolo di Maskelyn danno un risultato che concorda con la corrente valore accettato di G (o M - sono due facce della stessa medaglia).

Per inciso, ho scalato la montagna circa 18 mesi fa. Se il tempo è sereno, si hanno delle viste meravigliose in quanto non ci sono montagne così vicine (il che interferirebbe anche con le misurazioni).

#5
+10
Neo
2014-04-16 10:37:39 UTC
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Il modo più semplice è utilizzare un gravimetro da un satellite e risolvere la famosa equazione della legge dell'inverso del quadrato che Newton inventò secoli fa.

Un altro modo, che potrebbe essere un esercizio utile (avevo farlo in una classe di geofisica della terra solida) significa assumere una terra a 4 strati (crosta, mantello, nucleo esterno, nucleo interno). Usa i dati sismici non solo per ottenere le profondità di ogni strato (attraverso le riflessioni S / P) ma anche le densità di ogni strato attraverso le velocità sismiche. Puoi assumere densità omogenee per ogni "guscio" e trovare la massa usando la circonferenza della terra (e quindi il diametro).

Puoi anche risolverlo usando le leggi di keplero / newton del moto planetario, se conosci la distanza tra due corpi (Terra e luna / Terra e Sole).

Vale a dire, ci sono molti modi in cui la legge di gravità di Newton ci fornisce un'ottima approssimazione per la massa terrestre.

* Il modo più semplice è usare un gravimetro da un satellite *. Hai un'idea insolita della parola "facile".
Penso che sia molto difficile mettere in orbita quel satellite e persino costruire il gravimetro, ma usare quel gravimetro (dati già raccolti) è un URL di distanza. http://topex.ucsd.edu/WWW_html/bkgrd.html
Questo non funzionerà affatto! I gravimetri non misurano la gravità. Misurano la forza normale verso l'alto esercitata dal suolo che impedisce al gravimetro di affondare nella Terra. Poiché il gravimetro è stazionario, quella misurazione della forza ascendente funge da sostituto della gravitazione. Un satellite è in caduta libera. Un gravimetro su un satellite misurerà * zero * (o quasi zero se è in orbita terrestre bassa). Una coppia di gravimetri su un satellite può misurare il gradiente di gravità; questa è la base per il satellite GOCE (aveva tre coppie di questo tipo). Ma questo ha bisogno di un modello base per la gravità terrestre.


Questa domanda e risposta è stata tradotta automaticamente dalla lingua inglese. Il contenuto originale è disponibile su stackexchange, che ringraziamo per la licenza cc by-sa 3.0 con cui è distribuito.
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