Domanda:
Perché la Terra non è una sfera?
WAF
2014-04-16 12:35:27 UTC
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Abbiamo tutti imparato a scuola che la Terra era una sfera. In realtà, è più quasi una sfera leggermente appiattita - un ellissoide di rivoluzione oblato, chiamato anche sferoide oblato. Questa è un'ellisse ruotata attorno al suo asse più corto. Quali sono le ragioni fisiche di questo fenomeno?

Ho appena collegato la tua domanda in [La "forma a pera" della Terra è principalmente J mostly?] (Https://space.stackexchange.com/q/45348/12102)
@Uhoh: Per una visione più dettagliata della forma della terra, non perdere l'influenza della convezione, il numero e la forza delle correnti convettive e degli strati nel mantello, ecc. Recentemente ho letto di una notevole influenza, almeno sulla scala temporale geologica. Non ricordo dove, però, ...
Tre risposte:
#1
+22
Kenshin
2014-04-16 13:01:26 UTC
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Normalmente, in assenza di rotazione, la naturale permanenza della gravità consiste nel tirare insieme la Terra sotto forma di una sfera.

Tuttavia la Terra in realtà si gonfia all'equatore e il diametro attraverso il Il piano equatoriale è 42,72 km in più del diametro da polo a polo.

Ciò è dovuto alla rotazione della Terra.

enter image description here

Come possiamo vedere nell'immagine sopra, il disco rotante sembra gonfiarsi nei punti del disco più lontani dall'asse di rotazione.

Questo perché affinché le particelle del disco rimangano in orbita, deve esserci una forza verso l'interno, nota come forza centripeta, data da:

$$ F = \ frac {mv ^ 2} {r}, $$

dove $ F $ è la forza, $ m $ è la massa del corpo rotante, $ v $ è la velocità e $ r $ è la raggio della particella dall'asse di rotazione.

Se il disco ruota a una data velocità angolare, diciamo $ \ omega $, la velocità tangenziale $ v $, è data da $ v = \ omega r $.

Pertanto,

$$ F = m \ omega ^ 2r $$

Quindi maggiore è il raggio della particella, maggiore è la forza richiesta per mantenere tale orbita.

Pertanto le particelle sulla Terra vicino all'equatore, che sono le più lontane dall'asse di rotazione, si spingeranno verso l'esterno perché richiedono una maggiore forza verso l'interno per mantenere la loro orbita.


Ulteriori dettagli per più matematicamente alfabetizzati ora che mathjax è abilitato:

La forza netta su un oggetto che ruota attorno all'equatore con un raggio $ r $ attorno a un pianeta con una forza gravitazionale di $ \ frac {Gm_1m_2} {r ^ 2} $ è la forza centripeta data da,

$$ F_ {net} = \ frac {Gm_1m_2} {r ^ 2} - N = m \ omega ^ 2r, $$ dove $ N $ è la forza normale.

Riorganizzando l'equazione precedente si ottiene:

$$ N = \ frac {Gm_1m_2} {r ^ 2} - m \ omega ^ 2r $$

La forza normale qui è la forza verso il basso percepita che un corpo rotante osserva. L'equazione mostra che la forza verso il basso percepita è ridotta a causa del movimento centripeto. Il tipico esempio per illustrare questo è che c'è un'apparizione di gravità 0 in un satellite in orbita attorno alla Terra, perché in questa situazione la forza centripeta è esattamente bilanciata dalla forza gravitazionale. Sulla Terra, tuttavia, la forza centripeta è molto inferiore alla forza gravitazionale, quindi percepiamo quasi l'intero contributo di $ mg $.

Ora esamineremo come la forza gravitazionale percepita differisce a diversi angoli di latitudine. Sia $ \ theta $ l'angolo di latitudine. Sia $ F_G $ la forza di gravità.

Nella notazione vettoriale prenderemo la direzione $ j $ parallela all'asse di rotazione e la direzione $ i $ perpendicolare all'asse di rotazione.

In assenza della rotazione terrestre,

$$ F_G = N = (- \ frac {Gm_1m_2} {r ^ 2} \ cos \ theta) \ tilde {i} + (- \ frac {Gm_1m_2} {r ^ 2} \ sin \ theta) \ tilde {j} $$

Si vede facilmente che l'equazione sopra rappresenta la forza di gravità percepita in l'assenza di rotazione. Ora la forza centripeta agisce solo nella direzione i, poiché agisce perpendicolare all'asse di rotazione.

Se lasciamo che $ R_ {rot} $ sia il raggio di rotazione, allora la forza centripeta è $ m_1 \ omega ^ 2R_ {rot} $, che per un angolo di latitudine di $ \ theta $ corrisponde a $ m_1 \ omega ^ 2r \ cos {\ theta} $

$$ N = (- \ frac {Gm_1m_2} {r ^ 2} + m_1 \ omega ^ 2r) \ cos {\ theta} \ tilde {i} + (- \ frac {Gm_1m_2} {r ^ 2}) \ sin {\ theta} \ tilde { j} $$

Confrontando questa equazione con il caso mostrato in precedenza in assenza di rotazione, è evidente che all'aumentare di $ \ theta $ (angolo di latitudine), l'effetto della rotazione sulla gravità percepita diventa trascurabile, poiché l'unica differenza sta nel $ x $ -component e $ \ cos \ theta $ si avvicina a 0 quando $ \ theta $ si avvicina a 90 gradi di latitudine. Tuttavia si può anche vedere che quando theta si avvicina a 0, vicino all'equatore, la componente di gravità $ x $ si riduce a causa della rotazione terrestre. Pertanto, possiamo vedere che la magnitudine di $ N $ è leggermente inferiore all'equatore che ai poli. L'attrazione gravitazionale apparente ridotta qui è ciò che dà origine al leggero rigonfiamento della Terra all'equatore , dato che in origine la Terra non era rigida come lo è oggi (vedi altra risposta).

Supponendo che la gravità sia approssimativamente uguale sulla superficie del globo, giusto?
@naught101 a destra - e la gravità è uguale sulla superficie con un'approssimazione sufficiente per approssimare la forma del pianeta come un ellissoide oblato. Penso che la variazione oltre a questa sarebbe un'ottima risposta di per sé :-)
@SimonW: La pagina Wikipedia della [gravità della Terra] (https://en.wikipedia.org/wiki/Gravity_on_Earth#Variation_in_gravity_and_apparent_gravity) probabilmente risponde alla maggior parte di queste questioni in sospeso - sembra abbastanza completa.
@naught101 inoltre, ai poli la gravità agisce perpendicolarmente alla forza centripeta, poiché la forza gravitazionale è diretta verso il centro di gravità, mentre la forza centripeta è diretta verso l'asse di rotazione.
@hugovdberg, è vero. La maggiore forza centripeta nella stessa direzione della gravità lungo l'equatore provoca una diminuzione relativa di g dal punto di vista di un osservatore rotante all'equatore rispetto a un osservatore ai poli. Questo è ciò che dà origine al rigonfiamento. Fornirò una descrizione matematica quando verrà aggiunto mathjax.
La forza non è il modo migliore per vedere questo. L'energia fornisce un'immagine molto migliore. La superficie terrestre è molto vicina a una superficie di energia potenziale gravitazionale e centrifuga costante. La figura della Terra esemplifica il principio di minima azione.
@DavidHammen, Capisco che la maggior parte delle persone usi argomenti sull'energia, ma personalmente credo che l'argomento della forza sia più intuitivo per coloro che non hanno un background di fisica.
Sono d'accordo che gli argomenti sull'energia raramente forniscono molte informazioni per comprendere una questione fisica (almeno per me!), Poiché spesso affronta le domande nel suo insieme senza trattare le cause fisiche: l'unica causa è "l'energia deve essere minimizzata!". @Geodude Ad ogni modo, il modo in cui spieghi l'appiattimento della Terra con le forze è lungi dall'essere completo secondo me (vedi la mia risposta ei commenti seguenti). Inoltre, mi sono perso nel tuo trattamento matematico, hai mescolato scalari e vettori e $ F_ {net} $ è davvero uguale a $ m \ omega ^ 2r $?
@Gaialogist, Non credo di aver mescolato scalari e vettori - potresti indicarli (Gmm / r ^ 2 è una forza e mw ^ 2r è una forza, entrambe sono quantità vettoriali)? Inoltre sì, la forza netta per un oggetto sulla Terra è la forza centripeta. Se la forza netta fosse maggiore di quella centripeta, l'oggetto sarebbe sprofondato nella Terra. Se la forza netta fosse inferiore a quella centripeta, l'oggetto si sposterebbe fuori dalla Terra - o salti oscillatori momentanei o sfuggendo completamente all'orbita. La gravità è maggiore di quella centripeta, ma questo eccesso è bilanciato dalla normale forza opposta alla gravità.
Per un fisico, l'energia fornisce intuizioni molto migliori della forza. L'energia, non la forza, è alla base della meccanica lagrangiana e hamiltoniana. L'energia, non la forza, è al centro della meccanica quantistica e della relatività generale.
@DavidHammen, un buon fisico non ha problemi a risolvere i problemi usando argomenti energetici o argomenti di forza. Un fisico può riconoscere quando un approccio è più intuitivo di un altro. A mio parere, le leggi di Newton sono molto più intuitive della meccanica hamiltoniana per la fisica classica, ma ovviamente quelle lagrangiane sono più intuitive da usare nella fisica quantistica. Detto questo, è più facile risolvere questo particolare problema usando argomenti energetici, ma non di meno sono per forza più intuitivo per questo problema, motivo per cui ho usato quell'approccio.
In che modo la forza spiega ** qualcosa ** qui? La forza gravitazionale non è uniforme. Con l'energia e la termodinamica, è facile. L'energia potenziale gravitazionale ovunque sulla superficie del è quasi costante, e il motivo è la seconda legge della termodinamica.
@DavidHammen, se guardi attraverso la mia risposta vedrai come la forza spiega il rigonfiamento. La forza gravitazionale apparente è minore all'equatore che ai poli, motivo per cui durante la formazione la Terra si gonfia qui. Forse potresti approfondire il tuo commento sulla 2a legge della termodinamica? http://chat.stackexchange.com/rooms/13909/earth-science
Quella forza minore all'equatore è un effetto, non una causa. La causa è l'energia e la seconda legge della termodinamica. (Prima legge: non puoi vincere. Seconda legge: non puoi nemmeno pareggiare. Terza legge: questo è quanto perderai, minimo). La seconda legge dice che se c'è un percorso per il minimo di sistema configurazione energetica, il sistema troverà quel percorso.
@DavidHammen, Penso che tu abbia interpretato male le mie equazioni. La diminuzione della gravità all'equatore è una causa non un effetto, sebbene il rigonfiamento possa alla fine portare a un aumento del raggio, e quindi una diminuzione della gravità che non era il mio argomento.
@DavidHammen, la seconda legge della termodinamica è la legge secondo cui l'entropia aumenterà http://en.wikipedia.org/wiki/Second_law_of_thermodynamics. Non sono sicuro di come ciò si applichi a questa situazione.
Un altro modo per dirlo: i sistemi tendono a massimizzare la loro entropia. Inizia con un sistema isolato. Se il sistema può spostarsi verso uno stato di energia potenziale inferiore, lo farà a causa della seconda legge. Quella diminuzione dell'energia potenziale significa un aumento della temperatura dovuto alla conservazione dell'energia. L'entropia aumenta fino a quando il sistema raggiunge la sua minima energia potenziale, a quel punto l'entropia viene massimizzata. Un sistema non isolato si muoverà in modo simile verso il suo potenziale minimo di energia, ma ora irradierà quel calore nello spazio. L'entropia dell'universo aumenta.
#2
+15
Gaialogist
2014-04-23 14:33:48 UTC
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In realtà, il motivo per cui la Terra non è una sfera è duplice:

  1. la Terra sta ruotando e sta ruotando da molto tempo
  2. la Terra non lo è perfettamente rigido, può anche essere considerato come un fluido viscoso su lunghe scale temporali

Se la Terra non stesse ruotando, sarebbe una sfera. Se la Terra avesse iniziato a ruotare da pochissimo tempo, non sarebbe in equilibrio, quindi probabilmente non è l'ellissoide di rivoluzione che conosciamo. Infine, se la Terra fosse perfettamente rigida, non sarebbe deformata da alcun processo, inclusa la rotazione, quindi avrebbe ancora la sua forma iniziale .

Possiamo considerare che la Terra è un fluido in equilibrio idrostatico (cioè un fluido a riposo) in ogni punto, tenendo conto sia dell'effetto della gravità che della forza centrifuga (pseudo) dovuta alla rotazione. Quindi, se cerchiamo la forma della superficie terrestre in questa condizione, la soluzione è un ellissoide di rivoluzione. È molto vicino alla superficie terrestre effettiva, il che è una buona prova che la nostra ipotesi iniziale - fluido rotante in equilibrio idrostatico - è ragionevole per un lungo periodo di tempo.

Lo studio di questa domanda è correlato al famoso Equazione di Clairaut dal nome del famoso scienziato francese che pubblicò il trattato Théorie de la figure de la terre alla fine del XVIII secolo.

NB: se ci limitiamo a spiegare il rigonfiamento all'equatore riferendosi all'effetto della pseudo forza centrifuga e ignorando la questione dell'equilibrio idrostatico, dovremmo concludere che il raggio polare è lo stesso con o senza rotazione. Tuttavia, è più piccolo: circa 6357 km contro 6371 km per una Terra sferica di uguale volume.

come facciamo a sapere quale sarà il raggio polare di 6371 km senza rotazione? 6371km è il raggio medio della Terra, ed è più grande del raggio polare perché il rigonfiamento equatoriale ha distorto il raggio secondo me.
Sappiamo semplicemente che la Terra avrebbe lo stesso volume (si presume l'incomprimibilità) e sarebbe una sfera se non ruotasse, quindi un raggio polare di 6371 km. 6371 km non è _non_ il [raggio medio della Terra] (http://www.wolframalpha.com/input/?i=earth+mean+radius), è come ho scritto il raggio di "una Terra sferica di [volume uguale ] (http://www.wolframalpha.com/input/?i=earth+volume) ".
Meglio tardi che mai: errore mio riguardo alla discussione sui raggi terrestri. In ottima approssimazione, a causa del piccolo valore dell'appiattimento della Terra, 6371 km è [allo stesso tempo] (https://en.wikipedia.org/wiki/Earth_radius#Global_average_radii) (1) il raggio medio aritmetico, (2 ) il raggio authalic o _equal area_ e (3) il raggio volumetrico o _equal volume_. Tuttavia, non cambia la prima parte del mio commento precedente: il raggio polare terrestre * viene modificato anche dalla rotazione *, che non è spiegata nella risposta più votata / accettata.
#3
+7
David Hammen
2014-04-28 18:07:33 UTC
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Il fatto che la Terra sia approssimativamente uno sferoide oblato si spiega al meglio con l'energia.

Metti una biglia in una ciotola. Non importa dove lo metti, alla fine si fermerà sul fondo della ciotola. Questa è la posizione che minimizza l'energia totale del marmo soggetto al vincolo di stare nella vasca. Sospendi una catena tra due pali. Quando la catena si fermerà assumerà una forma ben nota, quella di una curva catenaria. Questa è la forma che minimizza l'energia della catena, soggetta al vincolo di essere sospesa tra i due montanti.

Se posizioni il marmo lontano dal fondo, rotolerà per un po riposo. Se allontani la catena dalla sua forma catenaria, oscillerà avanti e indietro per un po 'prima di fermarsi in quella forma stabile. Il marmo fuori centro e la catena fuori dal piano hanno energie potenziali maggiori di quanto non abbiano nella loro configurazione stabile. Se possibile, la natura tenterà di ridurre al minimo l'energia potenziale totale. È una conseguenza della seconda legge della termodinamica.

Nel caso della Terra, quella configurazione di energia minima è una superficie su cui la somma delle energie potenziali gravitazionali e centrifughe è costante. Qualcosa che fa deviare la Terra da questa superficie equipotenziale si tradurrà in un aumento di questa energia potenziale. La Terra alla fine si adatterà a quella configurazione di energia minima. Questa superficie equipotenziale sarebbe uno sferoide oblato se non fosse per variazioni di densità come crosta continentale spessa e leggera in un punto, crosta oceanica sottile e densa in un altro.

In termini di forza, la quantità che chiamiamo g è il gradiente delle energie potenziali gravitazionali e centrifughe (in particolare $ \ vec g = - \ nabla \ Phi $). Poiché la superficie terrestre è molto vicina ad essere una superficie equipotenziale e poiché quella superficie a sua volta è molto vicina ad essere uno sferoide oblato, la gravitazione ai poli è necessariamente leggermente superiore a quella all'equatore.

Questo la forza gravitazionale non sarà normale alla superficie nei punti in cui la superficie devia dalla superficie equipotenziale. La componente tangenziale della forza gravitazionale si traduce in luoghi in cui l'acqua scorre in discesa e in sollecitazioni e tensioni sulla superficie terrestre. Le eventuali risposte a queste forze tangenziali sono erosione, inondazioni e talvolta anche terremoti che alla fine riportano la Terra alla sua forma di equilibrio.


Aggiornamento: perché questa è l'immagine giusta?

Sulla base di commenti altrove, un certo numero di persone non capisce perché l'energia piuttosto che la forza sia il modo giusto per guardare a questo problema, o come entra in gioco la seconda legge della termodinamica.

Esistono molti modi diversi per affermare la seconda legge della termodinamica. Uno è che un sistema tende a uno stato che massimizza la sua entropia. Ad esempio, metti due blocchi a due diverse temperature in contatto tra loro. Il blocco più freddo si riscalda e il blocco più caldo si raffredda fino a quando entrambi i blocchi non raggiungono la stessa temperatura, grazie alla seconda legge della termodinamica. Quella temperatura uniforme è lo stato che massimizza l'entropia di questo sistema a due blocchi.

Questi due blocchi hanno solo energia termica. Che ne dici di un sistema con energia meccanica diversa da zero? L'attrito sta quasi inevitabilmente sottrarre energia cinetica dal sistema. Questo attrito significa che l'energia meccanica del sistema diminuirà fino a raggiungere un minimo globale, se esiste. Per un corpo rotante, dissipativo e auto gravitante, quel minimo globale esiste ed è una forma sferoidale (più o meno) oblata.

Hai qualche esempio di terremoto dovuto alla deviazione della crosta dalla superficie equipotenziale piuttosto che allo stress tettonico? Questo esempio mi sembra strano ... Qualcos'altro: la forza gravitazionale può essere normale alla superficie anche quando devia dal geoide (e non normale anche quando non devia).
@Gaialogist - Riguardo alla tua seconda domanda, il geoide è la superficie equipotenziale più vicina al livello medio del mare. Poiché l'accelerazione gravitazionale è il gradiente del potenziale gravitazionale, il vettore dell'accelerazione gravitazionale è necessariamente normale al geoide. È in matematica. Ecco una risposta pertinente su math.stackexchange.com: http://math.stackexchange.com/questions/122222/proving-gradient-of-a-scalar-field-is-perpendicular-to-equipotential-surface.
Per quanto riguarda la tua prima domanda, molti di questi stress tettonici sono una diretta conseguenza del fatto che la Terra è lontana dall'equilibrio idrostatico o da una forma di equilibrio. Spinta della cresta e trazione della soletta, ad esempio.
Va bene che la gravità sia normale al geoide ma la superficie non deve corrispondere al geoide per avere la gravità normale su di esso o reciprocamente. Considera una superficie vicina e parallela al geoide ma non sovrapposta: può avere una gravità normale; si consideri una superficie che attraversa il geoide: sulla linea di incrocio le due superfici coincidono ma la gravità non è normale alla superficie terrestre.
Per la mia prima domanda, sono d'accordo con l'argomento dell'equilibrio per spiegare qualsiasi movimento nella (o sulla) Terra. Penso solo che sia audace creare un collegamento tra le componenti tangenziali del vettore gravitazionale e i terremoti. Forse questo punto di vista potrebbe persino invertire erroneamente cause e conseguenze (l'impatto delle strutture tettoniche sulle anomalie gravitazionali, non il contrario) ...


Questa domanda e risposta è stata tradotta automaticamente dalla lingua inglese. Il contenuto originale è disponibile su stackexchange, che ringraziamo per la licenza cc by-sa 3.0 con cui è distribuito.
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